О МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 105 KB

1. В работе даются модели, порождающие нелинейные и (или) сильно нелинейные волн в струнах и других одномерных объектах.

Нелинейные волновые процессы обычно моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Для нелинейных аналогов волнового уравнения имеем [1]:

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

где h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов.

Нелинейные волновые эффекты многочисленны и многообразны. Показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн [1].

Весьма важной моделью нелинейных волн служит нелинейное уравнение Клейна-Гордона:

u_tt - с²u_xx=Ф(u), (2)

где Ф(u) - некоторая гладкая или разрывная функция, описывающая распределенные нелинейные восстанавливающие силы. Влинейном приближении Ф(u)=-ku (k>0) имеем известную модель струны «на упругой постели».

2. Весьма важную модель - модель нелинейной струны можно получить, учитывая в представлении для упругой энергии системы в первом приближении члeн, кубический по смещению [1]. Ограничиваясь рассмотрением достаточно длинных волн, можно получить дополнительные члeны уравнения движения, зависящие лишь от деформации u_x, но не от ее производных. Кроме того, в первом приближении можно записать можно записать также и члeн, учитывающий дисперсию. Тогда уравнение нелинейной струны (или уравнение продольных колебаний нелинейного стержня) можно привести к виду [1]:

u_tt - с²(u_xx+l²u₄_x- bu_xu_xx)=0, (3)

где c - по-прежнему скорость распространения волн в линейной модели, l - масштабный, считающийся малым, b - также малый параметр, хаpaктеризующий интенсивность нелинейных сил. Выбор положительного знака перед l² соответствует предположению, что среда имеет отрицательную дисперсию и групповая скорость убывает с ростом волнового числа. Дисперсия в данной модели оказывается нормальной. Выбор противоположенного знака привел бы к модели, аналогичной известной модели балки Бернулли [1].

Если Ф(u) - суть сингулярная обобщенная функция описывающая условия удара, то приходим к нелинейному уравнению Клейна-Гордона, моделирующее виброударную систему с паспределенными ударными элементами. [2]..

3. Весьма интересную базовую модель дает называемое уравнение Кортевега - де Фриза, (уравнение КдФ) оказывающееся принципиальным при рассмотрении моделей нелинейных волн [1].

w_t + w_x+εw_xxx+μww_x=0. (4)

Если перейти к подвижной системе координат x→x-t, то вместо (4) получим

w_t +μww_x+εw_xxx=0. (5)

Данное уравнение также называют уравнением Кортевега - де Фриза. При замене w→ - w вместо (.14) будем иметь:

w_t + w_x+εw_xxx-μww_x=0. (6)

Если продифференцировать это уравнение по t и заменить значение w_tего представлением из (6), то:

w_tt - w_xx- 2εw₄_x+ 2μ(ww_x)_x+εμ(2ww_xx+0,5w_x²)_хх - ε² w₆_x-μ²(w²w_x)_x = 0, (7)

то есть (3) и (7) совпадают с точностью до члeнов ~ε²и ~μ². Следовательно, решения уравнения КдФ (6) точно удовлетворяют уточненному уравнению нелинейной струны (7) и приближенно исходному уравнению (3). О других примерах волновых уравнений, множество решений которого содержит решения уравнения КдФ см. например в [1].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 04-01-00611).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны.- М.: Наука-1997. - 622 с.
Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей// ДАН. - . 2003,. № 388 (3).- С.12-15.

ОСОБЕННОСТИ РАЗВИТИЯ РАСТЕНИЙ ЯРОВОЙ ПШЕНИЦЫ В УСЛОВИЯХ ЗАСОЛЕНИЯ

Статья в формате PDF 105 KB...

27 04 2024 4:47:52

ПЕРЕВОДЧЕСКИЕ ТРАНСФОРМАЦИИ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ РАЗЛИЧИЯМИ В КУЛЬТУРНЫХ И ЯЗЫКОВЫХ КАРТИНАХ МИРА РОССИИ И США

Статья в формате PDF 263 KB...

26 04 2024 6:19:12

ИСТОРИЯ РАЗВИТИЯ ИСТИННЫХ УЧИТЕЛЕЙ

Статья в формате PDF 104 KB...

25 04 2024 0:56:51

Анализ параметров молодежной безработицы в Красноярском крае

Статья в формате PDF 114 KB...

24 04 2024 16:45:16

Современное образование в контексте информационно-коммуникационных технологий

Статья в формате PDF 279 KB...

23 04 2024 5:36:13

АКТИВНОСТЬ ПРОИЗВОДНЫХ ИНДОЛА SBT-151 И SBT-818 ПРИ СПИННОМОЗГОВОЙ АНЕСТЕЗИИ

Статья в формате PDF 133 KB...

22 04 2024 10:43:48

ОЦЕНКА ИММУННОГО СТАТУСА БОЛЬНЫХ АЛКОГОЛЬНЫМ ГЕПАТИТОМ

Статья в формате PDF 226 KB...

21 04 2024 21:43:18

ПРИМЕНЕНИЕ ОЗОНА ПРИ АНОДИРОВАНИИ АЛЮМИНИЕВЫХ СПЛАВОВ

Статья в формате PDF 352 KB...

20 04 2024 5:17:51

КОЖНАЯ МИКРОЦИРКУЛЯЦИЯ У БОЛЬНЫХ С БРОНХИАЛЬНОЙ АСТМОЙ И ХРОНИЧЕСКОЙ ОБСТРУКТИВНОЙ БОЛЕЗНЬЮ ЛЕГКИХ

Статья в формате PDF 112 KB...

19 04 2024 15:49:26

Динамика активности миелопероксидазы лейкоцитов у больных трихомикозами

Статья в формате PDF 107 KB...

18 04 2024 23:23:20

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ПРОЦЕССОВ АПОПТОЗА, НЕКРОЗА И ДИСТРОФИИ ОДНОЯДЕРНЫХ И МНОГОЯДЕРНЫХ МАКРОФАГОВ В КУЛЬТУРАХ ПЕРИТОНЕАЛЬНЫХ КЛЕТОК

Статья в формате PDF 102 KB...

17 04 2024 23:14:16

СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ТОКСИЧЕСКОГО ДЕЙСТВИЯ ПРОТИВОТУБЕРКУЛЕЗНЫХ ПРЕПАРАТОВ НА МИОКАРД

Статья в формате PDF 112 KB...

16 04 2024 10:53:55

ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ ТРАНСФОРМАЦИИ СОБСТВЕННОСТИ НА КУРОРТНО-РЕКРЕАЦИОННЫЕ РЕСУРСЫ И КУРОРТНУЮ ИНФРАСТРУКТУРУ КАВКАЗСКИХ МИНЕРАЛЬНЫХ ВОД

Статья в формате PDF 130 KB...

15 04 2024 18:54:11

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ УПРАВЛЕНИЯ РАЗВИТИЕМ МОРСКОГО ТРАНСПОРТНОГО КОМПЛЕКСА РЕГИОНА (МТКР)

Статья в формате PDF 219 KB...

14 04 2024 13:54:31

Некоторые социальные аспекты начального образования

Статья в формате PDF 121 KB...

13 04 2024 21:13:41

БИОТЕСТИРОВАНИЕ ВОДНОЙ СРЕДЫ ВОЛГО-КАСПИЯ

Анализ полученных результатов мониторинга воды Волго – Каспийского бассейна показал, что: уровень мутагенной активности загрязнений природных волжских вод достигает наибольшего значение в летний период; наиболее напряженная эколого- генетическая ситуация складывается в районах р. Бузан и г. Нариманов, находящихся в непосредственной близости от Газопереpaбатывающего завода; показатель уровня мутагенности водной среды с 1998 по 2001 г. незначительно снизился, но превышает предельно допустимое значение на 59%; сера, добываемая на АГПЗ увеличивает показатель мутагенности загрязнений на 62%; использование фильтров на основе циалита способствует снижению мутагенности природной воды на 58%, пpaктически приближая её к предельно допустимому значению 0,37%. ...

12 04 2024 17:28:43

СТРУКТУРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ УЧЕБНОГО ПРОЦЕССА В ВУЗЕ

Статья в формате PDF 298 KB...

11 04 2024 23:11:58

ИНТЕГРАЦИЯ В ЕСТЕСТВЕННОНАУЧНОМ ОБРАЗОВАНИИ ПРИ ПОДГОТОВКЕ ИНЖЕНЕРОВ-ТЕХНОЛОГОВ ДЛЯ НАУКОЕМКИХ ПРОИЗВОДСТВ

Статья в формате PDF 97 KB...

10 04 2024 22:45:13

ГЕЛИОКЛИМАТОЛОГИЯ: ВНЕЗЕМНЫЕ ИСТОЧНИКИ ЗЕМНОГО КЛИМАТА

Проведен анализ поведения 380-летних изменений солнечной активности, температуры, осадков, солнечной радиации, штормистости и СО2. Обнаружена тенденция совпадения всех процессов на ветви роста 400-летних изменений. Показано, что основным фактором климатических изменений на Земле является солнечная активность. Для дальнейших сценариев существования человечества в обозримой перспективе, уже не так важно, что лежит в основе глобального повышения температуры, CO2, осадков … Теперь важно искать пути, как снизить риски глобальных климатических изменений на природу, биосферу и экономику. Важно также оценить факторы положительные экономического развития мирового сообщества в целом и России, в частности, вызванные этими изменениями. Показано, что своевременное отслеживание и прогнозирование изменения активности Солнца и вызванных ею земных явлений позволяют снижать экономические риски и выpaбатывать оптимальную стратегию для предотвращения природных катастроф. ...

09 04 2024 21:30:38

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ КОРОТКИХ ЭПИЗОДОВ ИШЕМИИ-РЕПЕРФУЗИИ НА ТЕЧЕНИЕ ADMA-ПОДОБНОГО ГЕСТОЗА

Статья в формате PDF 305 KB...

08 04 2024 22:18:27

ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ДОЗ ПХБ НА МЕТАБОЛИЧЕСКОЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ ЛЕЙКОЦИТОВ И ВОЗМОЖНОСТЬ КОРРЕКЦИИ НАРУШЕНИЙ ОКСИМЕТИЛУРАЦИЛОМ

Введение в организм белых крыс ПХБ в течение 28 суток привело к нарушениям со стороны количественного и качественного состава белой крови. При одновременном введении ПХБ и ОМУ количественные и качественные изменения лейкоцитов носили не столь выраженный хаpaктер, и концу эксперимента наблюдалось их восстановление. Таким образом, применение оксиметилурацила вызывает уменьшение токсического эффекта ПХБ на количественное и метаболическое состояние лейкоцитов периферической крови. ...