СОСТАВЛЕНИЕ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА I РОДА
Движение голономной системы, состоящей из n точек с a связями вида описывается системой уравнений
(1)
из которых определяются ускорения , реакции связей и множители Лагранжа la при заданных mv и . Уравнения (1) называются уравнениями Лагранжа первого рода [1].
Пример 1.
Материальная точка движется под действием силы тяжести по гладкой горизонтальной плоскости (рис. 1).
Рис. 1. Материальная точка движется по идеально гладкой горизонтальной плоскости под действием силы тяжести
Система имеет две степени свободы. Активная сила, действующая на точку, сила тяжести , сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
, ,
где f = z = 0 - уравнение связи и . Из последнего уравнения следует, что λ = G, , , точка движется по инерции.
Пример 2.
Материальная точка, движется по поверхности сферы под действием силы тяжести. Сфера идеально гладкая, точка сферу не покидает (рис. 2).
Рис. 2. Материальная точка движется под действием силы тяжести по идеально гладкой поверхности сферы
Система имеет две степени свободы. Уравнение связи f = x2 + y2 + z2 - R2 = 0. На точку действует активная сила - сила тяжести и сила реакции связи . Уравнения Лагранжа I рода имеют следующий вид:
, , .
К полученным уравнениям присоединим условие, которому удовлетворяют возможные ускорения точки:
В последнее равенство подставим значения и получим:
откуда
и, следовательно
.
Тогда искомые уравнения имеют вид:
где V2 = x2 + y2 + z2.
Пример 3.
Материальная точка массой m движется по поверхности цилиндра радиуса R, уравнение которого в декартовых координатах x2 + y2 = R2 (рис. 3). Силы, действующие на точку, уравновешены. Определить траекторию точки и реакцию поверхности, если в начальный момент времени точка занимала положение A(R; 0; 0) и имела начальную скорость
.
Уравнение связи f = x2 + y2 - R2 = 0. Уравнения Лагранжа I рода в данном случае имеют вид:
или ;
или ;
или ,
так как Fz = 0, .
Рис. 3. Материальная точка массой движется
по идеально гладкой поверхности цилиндра
Проинтегрируем третье из равенств: , z = V0zt. Из первых двух уравнений исключим множитель l, поделив первое равенство на второе:
, или ,
откуда, интегрируя, находим
.
Перейдем к полярным координатам в плоскости xOy: x = Rcosφ, y = Rsinφ или , ,
тогда
,
откуда .
Из последнего равенства следует, что φ = ωt и уравнения движения в конечном виде принимают вид:
x = Rcosωt, y = Rsinωt, z = V0zt.
Последние уравнения определяют винтовую линию. Принимая во внимание и учитывая первое равенство, определяем силы реакции:
Модуль силы реакции -
.
Направляющие косинусы
,
,
а сила реакции направлена перпендикулярно оси Oz.
Список литературы
1. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - М.: Наука, 1983. - 640 с.
Статья в формате PDF
128 KB...
28 04 2024 0:48:58
Статья в формате PDF
120 KB...
26 04 2024 18:50:22
Статья в формате PDF
109 KB...
25 04 2024 21:30:45
Статья в формате PDF
126 KB...
24 04 2024 0:39:28
Статья в формате PDF
269 KB...
22 04 2024 12:57:21
Статья в формате PDF
226 KB...
21 04 2024 9:51:51
Статья в формате PDF
114 KB...
20 04 2024 18:47:27
Проведен анализ результатов научных исследований об использований труда заключенных филиалов ГУЛАГа в Казахстане для развития народного хозяйства Центрального Казахстана в 30–40-е годы ХХ века. На основе архивных данных были сделаны выводы о том, что заключенные филиалов ГУЛАГа, несмотря на тяжелое социально-экономическое, политически бесправное положение, испытывая все невзгоды, работали на промышленных предприятиях, сельском хозяйстве, на строительстве железных дорог, в голод и холод создавали экономическую базу для укрепления социалистического строя. Из основной категории заключенных выделялись женщины – жены так называемых «изменников Родины». Условия труда и содержание их в лагерях было намного тяжелее, чем у мужчин. Несмотря на это они занимались физическим трудом наравне со всеми заключенными, выполняли норму выработки, повышали производительность труда, не получая за это никаких ослаблении в труде.
...
19 04 2024 21:18:29
Статья в формате PDF
266 KB...
18 04 2024 16:57:16
Закономерности изменения различных физико-химических констант органических соединений (А) в гомологических рядах идентичны и могут быть описаны простейшим линейным рекуррентным соотношением А(n+1) = aA(n) + b, связывающим их значения с величинами соответствующих констант для предыдущих гомологов.
...
17 04 2024 0:30:16
Статья в формате PDF
112 KB...
15 04 2024 9:15:19
Статья в формате PDF
251 KB...
14 04 2024 12:11:34
Статья в формате PDF
91 KB...
13 04 2024 4:20:12
Статья в формате PDF
114 KB...
12 04 2024 4:38:13
Статья в формате PDF
115 KB...
11 04 2024 15:37:10
Статья в формате PDF
111 KB...
10 04 2024 20:36:26
Статья в формате PDF
128 KB...
08 04 2024 9:43:29
Статья в формате PDF
102 KB...
07 04 2024 11:55:53
Статья в формате PDF
168 KB...
06 04 2024 14:18:52
Статья в формате PDF
174 KB...
05 04 2024 19:51:58
В работе показаны причины возникновения профессиональных заболеваний в результате воздействия на организм человека асбестовой пыли. Клинические проявления и специфические симптомы, вызванные длительным контактом с асбестовой пылью. Рекомендуется новая технология пневмообогащения асбестового минерального сырья на базе ранее разработанных Тувинским институтом комплексного освоения природных ресурсов СО РАН способов и устройств по переработке минерального сырья, содержащего тяжелые минералы и металлы.
...
04 04 2024 19:13:32
Статья в формате PDF
146 KB...
03 04 2024 1:44:52
Статья в формате PDF
104 KB...
02 04 2024 7:54:56
В статье описывается математическая модель, связывающая уровень психической реакции с личностными хаpaктеристиками человека и с силой информационного воздействия на него. Исследуются условия устойчивости модели методами теории автоматического управления.
...
01 04 2024 5:40:46
Статья в формате PDF
219 KB...
30 03 2024 2:35:15
Статья в формате PDF
84 KB...
28 03 2024 13:50:11
Статья в формате PDF
117 KB...
27 03 2024 6:32:43
Статья в формате PDF
136 KB...
26 03 2024 18:45:23
Основная задача при работе с одаренными детьми заключается в том, чтобы поддержать в ребенке стремление к освоению высших ценностей, создать условия, в которых ребенок сможет строить свою личность самостоятельно, накапливать индивидуальный познавательный опыт. Физика наряду с другими фундаментальными науками дает возможность развивать творческие способности учащихся, навыки системного мышления.
...
24 03 2024 22:41:21
В западных предгорьях Алтая скважинами вскрыты погребенные долины, выполненные верхнеолигоцен-нижнемиоценовым аллювием. Литологические, минералогические, геохимические особенности этих отложений и спорово-пыльцевые спектры свидетельствуют об их накоплении, и формировании долин в условиях влажного умеренно теплого климата со среднегодовыми положительными температурами не ниже +3 °С и годовым количеством осадков не менее 800 мм. В это время здесь, в ныне самом засушливом районе Алтая со среднегодовым количеством осадков 200 мм, были развиты ландшафты хвойно-широколиственных и листопадных лесов тургайского типа с участием отдельных теплолюбивых субтропических элементов.
...
23 03 2024 11:47:35
Статья в формате PDF
90 KB...
21 03 2024 17:14:36
Статья в формате PDF
134 KB...
20 03 2024 23:16:39
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
