К АНАЛИЗУ ПРОБЛЕМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛНОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Крупенин В.Л. Статья в формате PDF 104 KB

1. Нелинейные волновые процессы моделируются при помощи нелинейных дифференциальных уравнениях в частных производных. Если ограничится нелинейными аналогами волнового уравнения, то упомянутая модель может быть представлена в виде

u_tt - с²u_xx=h(u,u_t,u_x,t,x), (1)

h - нелинейная функция, структура которой определяется геометрическими и (или) физическими особенностями задачи. Раскладывая функцию h в ряд, в разных приближениях можно получать модели нелинейных волновых процессов. Нелинейные волновые эффекты весьма многочисленны и многообразны. В частности показывается, что при рассмотрении простейших нелинейных волновых моделей проявляются такие весьма хаpaктерные и важные явления как «деформирование» и «опрокидывание» профилей волн.

2. Рассмотрим примеры анализа нелинейных волн в так называемых виброударных системах с распределенными ударными элементами. Обозначим: u(x,t) - искомый прогиб. Пусть расстояние между струной и ограничителем равно Δ; 0<Δ<1. Имеем для определенности:

u(x,t)≤Δ<1, x [-½,½], t≥0. (2)

При реализации в первом соотношении строгого неравенства задача линейна и, ограничиваясь консервативным случаем имеем u≡u_tt-u_xx=0. Пусть: u(±½,t)=0, u(x,0)= u₀(x) ≤0, u_t(x,0)= 0.Гладкость функции u₀(x) такова, что (хотя бы в обобщенном смысле) обеспечивается существование и единственность решение задачи Коши в соответствующей линейной системе. При реализации контакта ограничитель действует на струну «от себя» поэтому при u>0:

u≤0 (3)

Условие аналогичное (3) эквивалентно дозвуковому распространению взаимодействий.Потребуем: suppu⊂ {(x,t); u(x,t)=Δ, где символ «supp» обозначает носитель обобщенной функции. Считая, что при взаимодействии энергия не теряется, постулируем здесь выполнение, имеющего место в соответствующей линейной системе соотношения, выражающего закон сохранения энергии, т.е. в смысле обобщенных функций ∂ ⁄∂t(|u_t|+|u_x|)=∂ ⁄∂x(2u_tu_x).Это соотношение постулируется и выражает, в частности, гиротезу удара:

u_t(x, t-0)=-u_t(x, t+0), (x,t) ∈ suppu, u(x,t)=Δ. (4)

Данные определяют гипотезу удара взаимодействия струны об ограничителем без учета потерь энергии. Данную задачу можно символически записать в виде нелинейного уравнения Клейна - Гордона u+Ф(u)=0, где обобщенная функция Ф(u) определяется указанными соотношениями.

Постановка задачи о поляризованных колебаниях струны, находящейся, например, в трубе, вполне аналогична. Вместо неравенства (2) имеем двойное неравенство u^≤_≥0.

3. Постановка задачи о взаимодействии струны с точечным ограничителем принципиально отличается от предыдущих, так как при достижении точечного ограничителя, струна некоторое время покоится на нем и мы имеем в определенном смысле аналог гипотезы об абсолютно неупругом ударе. При этом гипотеза взаимодействия подразумевает, что потери энергии отсутствуют. Обсуждение моделей диссипации энергии в системах с распределенными ударными элементами не проводится.

Пусть в плоскости колебаний струны зафиксирован точечный ограничитель и пусть точка фиксации есть (0,∆). Таким образом здесь u(0,t)≥∆. Записывая уравнение движения снова в виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона, заметим, что при возникновении контакта струны с ограничителем, как отмечалось, ее серединная точка будет некоторое время покоится. Если t_k -начало k-го взаимодействия, а θ_k - его окончание: u(0,t)=∆, t∈[t_k,θ_k], то Ф(u)=-ΣR_k(t)δ(x)[η(t-t_k)-η(θ-θ_k)], где к -индексы по которым проводится суммирование,δ(x) и η(t) - δ-функция Диpaка и единичная функция Хевисайда;R_k(t)= u_x(-0,t) - u_x(+0,t) ≥0, t∈ [t_k,θ_k] - сила реакции ограничителя. При реализации строгого неравенства) контакт отсутствует. Действие точечного ограничителя равносильно систематическому дополнительному защемлению (в данном случае - середины) струны.

Подробное изложение данных проблем дано в [1]. (Поддержка РФФИ 05-08-50183).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

Крупенин В.Л. К описанию динамических эффектов, сопровождающих колебания струн вблизи однотавровых ограничителей // ДАН. 2003. № 388 (3). С.31- 38.

ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПАРАМЕТРОВ ФУНКЦИИ ВЕЙЕРШТРАССА-МАНДЕЛЬБРОТА ДЛЯ ОЦЕНКИ МИКРОУСКОРЕНИЙ

Статья в формате PDF 140 KB...

03 05 2024 15:28:22

НЕОБХОДИМОСТЬ СПЕЦИАЛЬНОЙ ОБРАБОТКИ ВОДЫ В ПРОИЗВОДСТВЕ МОЛОЧНЫХ ПРОДУКТОВ НА ОСНОВЕ ВОССТАНОВЛЕННЫХ КОМПОНЕНТОВ

Статья в формате PDF 314 KB...

02 05 2024 9:24:14

СИМУЛЯЦИЯ СЕТИ С ПЕРЕМЕННОЙ ТОПОЛОГИЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Статья в формате PDF 136 KB...

01 05 2024 2:30:47

СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ ПРОЦЕССА ПОДГОТОВКИ БУДУЩИХ УЧИТЕЛЕЙ НА ОСНОВЕ МОДУЛЬНО-РЕЙТИНГОВОЙ СИСТЕМЫ

Статья в формате PDF 110 KB...

30 04 2024 4:53:33

ЛИМНОЛОГИЧЕСКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МАЛЫХ ВОДОЕМОВ СЕВЕРО-ЗАПАДНОЙ ЧАСТИ РОССИИ И ИХ ЭКОНОМИЧНОЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ

Статья в формате PDF 119 KB...

29 04 2024 7:12:59

СОЗДАНИЕ СБАЛАНСИРОВАННЫХ РЫБНЫХ ПРОДУКТОВ ДЛЯ ШКОЛЬНОГО ПИТАНИЯ НА ОСНОВЕ ПРИНЦИПОВ ПИЩЕВОЙ КОМБИНАТОРИКИ

Статья в формате PDF 267 KB...

28 04 2024 3:45:55

Клинико-эпидемиологические особенности современного течения фульминантных вирусных гепатитов

Статья в формате PDF 115 KB...

27 04 2024 7:10:52

К ЭКОЛОГИИ СЕРОЙ НЕЯСЫТИ НА ТЕРРИТОРИИ ШУЙСКОГО РАЙОНА ИВАНОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Статья в формате PDF 288 KB...

26 04 2024 17:28:34

ПОКАЗАТЕЛИ ПЕРЕКИСНОГО ОКИСЛЕНИЯ ЛИПИДОВ И АНТИОКСИДАНТНОЙ ЗАЩИТЫ В СИСТЕМЕ «СЫВОРОТКА КРОВИЭРИТРОЦИТ» ПРИ ОСТРОЙ ЦИРКУЛЯТОРНОЙ ГИПОКСИИ

Изучено влияние острой циркуляторной гипоксии на перекисное окисление липидов в системе «сыворотка крови - эритроцит». Показано, что острая кровопотеря сопровождается увеличением уровня малонового диальдегида во всех компонентах системы. Одновременно изменяется активность каталазы, глутатионредуктазы и «антиоксидантной белковой буферной системы», что может свидетельствовать об активации антиоксидантной защитной системы. ...

25 04 2024 2:19:28

ВЛИЯНИЕ ЛАЗЕРНОГО ЛЕГИРОВАНИЯ НА ФОРМИРОВАНИЕ ВНУТРЕННИХ МАКРОНА-ПРЯЖЕНИЙ В ПОВЕРХНОСТНЫХ СЛОЯХ СТАЛЕЙ

Статья в формате PDF 110 KB...

24 04 2024 9:35:50

ПРОБЛЕМЫ ЭКОЛОГИИ ПРИ ОБОГАЩЕНИИ АСБЕСТОВЫХ РУД

В работе показаны причины возникновения профессиональных заболеваний в результате воздействия на организм человека асбестовой пыли. Клинические проявления и специфические симптомы, вызванные длительным контактом с асбестовой пылью. Рекомендуется новая технология пневмообогащения асбестового минерального сырья на базе ранее разработанных Тувинским институтом комплексного освоения природных ресурсов СО РАН способов и устройств по переработке минерального сырья, содержащего тяжелые минералы и металлы. ...

23 04 2024 6:49:14

ОСОБЕННОСТИ ИНДИВИДУАЛЬНОТИПОЛОГИЧЕСКОЙ ИЗМЕНЧИВОСТИ СТРОЕНИЯ И ФОРМЫ СВОБОДНЫХ НИЖНИХ КОНЕЧНОСТЕЙ ДЕВУШЕК

Статья в формате PDF 142 KB...

22 04 2024 3:25:37

КОНТЕЙНЕРЫ В МЕТОДОЛОГИИ ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Статья в формате PDF 101 KB...

21 04 2024 15:53:17

КАЧЕСТВЕННЫЙ И КОЛИЧЕСТВЕННЫЙ СОСТАВ ИМПЛАНТАЦИОННЫХ КАЛЬЦИЙФОСФАТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

В лаборатории биохимии ФГУН «РНЦ «ВТО» им. акад. Г. А. Илизарова Росздрава» разработаны имплантационные материалы на основе кальцийфосфатных соединений, выделенных из костной ткани крупного рогатого скота. Технология получения материалов для имплантации включает в себя деминерализацию костной ткани с применением хлороводородной кислоты, осаждение из раствора кальцийфосфатных соединений, их очистку, высушивание и измельчение. Изучен качественный и количественный состав полученных материалов с применением сканирующей электронной микроскопии, инфpaкрасной спектроскопии и метода рентгеновского электронно-зондового микроанализа. Установлено, что материалы представляют собой порошкообразные смеси с включениями гранул диаметром от 100 до 2000 мкм. В состав материалов входят остеотропные элементы кальций, фосфор, магний, сера, которые однородно распределены в материале. ...