ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗА ПРИ НАЛИЧИИ НЕУДЕРЖИВАЮЩЕЙ СВЯЗИ С ИЗМЕНЯЕМОЙ ГЕОМЕТРИЕЙ
Рассмотрим движение груза M массой m, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса r. В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна l0 (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.
Рис. 1. Расчетная схема
В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия j. Кроме силы тяжести на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис. 1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .
Дифференциального уравнения движения
(1)
здесь T - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.
(2)
Здесь - скорость материальной точки,
где тогда
(3)
Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза
(4)
Начальные условия для уравнения (4) имеют вид
(5)
Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие x2 + y2 + l2 или N ≥ 0. Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие
l0 + rφ > 0 или (6)
которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.
С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде
(7)
где - приведенный радиус неподвижного цилиндра,
Для нахождения реакции нити запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией AM:
Тогда значение силы N будет равно
(8)
где - приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.
Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии
.
С учетом соотношений (2) и (3), получим
Данное выражение можно привести к виду
(9)
где
Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде
(10)
где
Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.
Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки
Согласно выражению (3) получим
Так как B(φ) > 0, а угол β изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям φ равным
φ = 0,2πn; n ∈ N.
График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис. 2. При расчетах принято, что l0 = π r, т.е. αкр = π.
Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:
(11)
где
.
Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр σ хаpaктеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.
Рис. 2. Области на фазовой плоскости:
I - колебательного движения;
II - движение по раскручивающейся спирали
При значениях 0 < σ ≥ 1 его можно представить в виде и выражение (11) запишется в виде
откуда следует, что и , т.е. движение носит колебательный хаpaктер, максимальное отклонение которого α определится из уравнения:
При значениях σ > 1 величина в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.
Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение σ = 1 (рис. 2), которое можно записать в виде:
или
При значениях груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях - колебательное движение. Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину
Список литературы
- Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Пpaктикум: учебное пособие. - СПб, БХВ - Петербург, 2005. - 752 с.
- Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики. - ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.
Статья в формате PDF
121 KB...
03 05 2024 2:28:30
Статья в формате PDF
144 KB...
02 05 2024 21:19:14
Статья в формате PDF
121 KB...
01 05 2024 8:52:31
Статья в формате PDF
137 KB...
30 04 2024 23:44:57
Обследовано 65 больных шизофренией, направленных в психиатрический стационар в недобровольном порядке. Установлено, что только 16% из них госпитализируются по Постановлению суда (что составляет 0,46% от всех поступивших больных в течение года), остальные 84% дают согласие на госпитализацию в первые дни пребывания в стационаре. У большинства больных указанного контингента наблюдается выраженная социально-трудовая дезадаптация и низкая комплаентность. Приводятся рекомендации по стратегии и тактике лечения в условиях стационара и внебольничного звена психиатрической помощи, требования к преемственности и особенности диспансерного наблюдения.
...
29 04 2024 18:26:47
Статья в формате PDF
317 KB...
28 04 2024 8:18:51
Статья в формате PDF 137 KB...
27 04 2024 10:17:45
Статья в формате PDF
105 KB...
26 04 2024 10:23:51
Статья в формате PDF
106 KB...
25 04 2024 17:23:40
Статья в формате PDF
104 KB...
24 04 2024 1:23:33
Статья в формате PDF
529 KB...
22 04 2024 1:17:33
Статья в формате PDF
95 KB...
21 04 2024 17:41:55
Статья в формате PDF
115 KB...
20 04 2024 18:57:33
Статья в формате PDF 135 KB...
19 04 2024 0:28:26
Статья в формате PDF
468 KB...
18 04 2024 10:24:25
Статья в формате PDF
115 KB...
17 04 2024 14:33:31
Статья в формате PDF
112 KB...
16 04 2024 15:23:13
Статья в формате PDF 113 KB...
15 04 2024 20:38:32
Статья в формате PDF
106 KB...
13 04 2024 16:47:30
Статья в формате PDF
254 KB...
11 04 2024 9:39:20
Статья в формате PDF
102 KB...
10 04 2024 1:29:17
В основе современной научной теории патологии должны лежать фундаментальные философские принципы бытия материи, из которых выводятся и обосновываются ее основные положения. В данной работе проведен анализ принципа подобия как частного выражения философского принципа субстанциального единства мира. Делается вывод, что один общий биологический процесс лежит в основе как нормальных, так и патологических явлений: приспособление есть сущность болезни.
...
09 04 2024 14:37:34
Статья в формате PDF
111 KB...
08 04 2024 0:14:46
Статья в формате PDF
124 KB...
07 04 2024 6:56:57
Статья в формате PDF
170 KB...
05 04 2024 4:48:26
Статья в формате PDF
117 KB...
03 04 2024 6:30:46
Статья в формате PDF
133 KB...
02 04 2024 22:24:42
Статья в формате PDF
259 KB...
01 04 2024 22:44:29
Статья в формате PDF
162 KB...
31 03 2024 10:24:31
Статья в формате PDF
250 KB...
30 03 2024 18:48:59
Статья в формате PDF
124 KB...
29 03 2024 2:51:11
Статья в формате PDF
121 KB...
28 03 2024 7:25:56
На основе представлений о системности мироустройства и о прострaнcтве, как онтологической, непрерывной безмассовой вихревой среде даны определения основных физических понятий (материя, масса, заряд, энергия и т.д.). Физические параметры среды определяют закономерность существования единственной материальной частицы - носителе массы и заряда, названной массон (единство физических представлений об электроне, позитроне и заряде). В соответствии с природными правилами структурирования первочастиц из 273 и 207 массонов формируются гексагональные структуры, соответственно, пи-, и мю-мезонов, а из 7 этих частиц построены нуклоны. Объяснены ядерные силы и свойства всех частиц.
...
27 03 2024 17:52:56
Статья в формате PDF
107 KB...
25 03 2024 21:24:43
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
