ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Авторы
Файлы

Романовский Р.К. Мендзив М.В. Статья в формате PDF 120 KB

В работах [1, 2] известный метод Римана для гиперболического уравнения второго порядка распространен на одномерные гиперболические системы общего вида. Получено явное представление решений задачи Коши. Ядрами интегральной формулы служат матрицы двух типов, получившие название матриц Римана первого и второго рода и представляющие собой сингулярную и регулярную компоненты фундаментальной матрицы гиперболической системы. Изучена детальная структура матриц Римана. В [3 - 5] этот математический аппарат применен к анализу асимптотического поведения решений задачи Коши. В частности, в [4] построен оператор монодромии системы указанного в названии класса, получены спектральные признаки устойчивости и дихотомии; в прострaнcтвенно-однородном случае вычислена резольвента оператора монодромии, получено конструктивное описание его спектра.

В [6, 7] предложен подход к анализу устойчивости решений краевых задач для одномерной гиперболической системы на основе прямого метода Ляпунова: в [6] - для задачи Коши, в [7] - для смешанной задачи, встречающейся в акустике, химической кинетике. В [7] получено приложение к анализу устойчивости стационарных режимов в химических реакторах.

Данный доклад - продолжение [6, 7]. Рассматривается, как и в [4], задача Коши для системы указанного в названии класса. Построен вариант прямого метода Ляпунова, в котором условие на производную функционала Ляпунова вдоль траекторий системы существенно ослаблено по сравнению с общей ситуацией в [6].

Рассмотрим гладкий гиперболический оператор с кратными хаpaктеристиками

Здесь

- единичная матрица порядка . Будем предполагать

1) A, B периодичны по t с периодом T>0;

2) ограничены в .

Обозначим H линеал гладких финитных функций .

Задача Коши

(1)

однозначно разрешима в классе гладких функций и при каждом . Введем в H скалярное произведение и норму формулами . Зафиксируем гладкую ограниченную вместе с производными первого порядка матрицу порядка N со свойствами

(2)

и определим функционал

равенством

Производная функционала вдоль траекторий системы (1) дается формулой

ТЕОРЕМА. Пусть существует матрица со свойствами (2) такая, что

1º) в полуплоскости ;

2º) хотя бы на одной прямой .

Тогда решение системы (1) экспоненциально устойчиво: существуют постоянные такие, что для любого решения

. (3)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначим разрешающий оператор задачи Коши (1). Из формулы для решения задачи Коши в [1] следует: - линейный ограниченный (при фиксированных ) оператор , гладкий по в операторной топологии, при этом выполняется равенство (свойство стационарности на периоде)

(4)

1. Пусть условия 1º, 2º выполняются при . Имеем для значений на любом решении u(x,t) равенства

Условия 1º, 2º дают:

(5)

при некотором t≥0.

Из второго неравенства (5) легко получить: существует t₀>0 такое, что

(6)

Зафиксируем период ; с учетом (6) и первого неравенства (5) имеем: число

(7)

Далее, из (4) вытекает равенство

(8)

Из (7), (8) с учетом априорной оценки для решения задачи Коши (1) вытекает для решений (1) оценка (3) с константой .

2. В общем случае замена Ляпунова где - эрмитово-положительный корень из , приводит к ситуации пункта 1.

Заметим, что требования 1º, 2º на существенно слабее, чем в аналогичной ситуации в [6] для систем с любыми гладкими коэффициентами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Докл. АН СССР 1982. Т. 267, №3. С. 577 - 580.
Романовский Р.К. О матрицах Римана первого и второго рода// Мат. сб. 1985. Т. 127, №4. С. 494 - 501.
Романовский Р.К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными// Мат. сб. 1987. Т. 133, №3. С. 341 - 355.
Романовский Р.К. Об операторе монодромии гиперболической системы с периодическими коэффициентами// В книге: Применение методов функционального анализа к задачам математической физики. Киев: Изд. ИМ АН УССР 1987. С. 47 - 52.
Романовский Р.К. Усреднение гиперболических уравнений// Докл. АН СССР 1989. Т. 306, №2. С. 286 - 289.
Воробьева Е.В., Романовский Р.К. Об устойчивости решений задачи Коши для гиперболической системы с двумя независимыми переменными// Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, №6. С. 1290 - 1292.
Романовский Р.К., Воробьева Е.В., И.Д. Макарова. Об устойчивости решений смешанной задачи для почти линейной гиперболической системы на плоскости// Сиб. журн. индустриальной математики 2003. Т. VI, №1. С. 118 - 124.

ОБНОВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАК РЕЗУЛЬТАТ ВВЕДЕНИЯ НОВЫХ ФГОС

Статья в формате PDF 325 KB...

05 05 2024 17:26:19

ПОДГОТОВКА КОМПЕТЕНТНЫХ СПЕЦИАЛИСТОВ В УСЛОВИЯХ ВУЗОВСКОГО ОБУЧЕНИЯ

Статья в формате PDF 181 KB...

04 05 2024 18:30:31

ВЛИЯНИЕ СТРЕССА НА АКТИВНОСТЬ ЛЕЙКОЦИТОВ ПЕРИФЕРИЧЕСКОЙ КРОВИ

Статья в формате PDF 136 KB...

03 05 2024 18:56:29

АНТРОПОГЕННАЯ НАГРУЗКА ГОРНОДОБЫВАЮЩЕЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ НА ПРИРОДНЫЙ ПОТЕНЦИАЛ КЕМЕРОВСКОЙ ОБЛАСТИ

Статья в формате PDF 206 KB...

02 05 2024 16:31:26

ИННОВАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ КАК ФАКТОР УСТОЙЧИВОГО РАЗВИТИЯ КИТАЙСКОГО РЕГИОНА

Статья в формате PDF 99 KB...

01 05 2024 8:42:40

РАЗРАБОТКА ЭКОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ПРЕДПРИЯТИИ МУП «ТЕПЛОВЫЕ СЕТИ» Г. МУРОМА

Статья в формате PDF 308 KB...

30 04 2024 13:58:11

ГИНЕКОЛОГИЧЕСКИЙ СТАТУС ДЕВОЧЕК И ДЕВУШЕК-ПОДРОСТКОВ, БОЛЬНЫХ ПЕРВИЧНОЙ ДИСМЕНОРЕЕЙ

Статья в формате PDF 113 KB...

29 04 2024 4:51:42

Управление линейными стохастическими системами с марковскими переключениями

Статья в формате PDF 324 KB...

28 04 2024 15:16:11

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ РАБОТА ПО ПОДГОТОВКЕ КОНКУРЕНТОСПОСОБНОГО СПЕЦИАЛИСТА В ПРОЦЕССЕ ОБУЧЕНИЯ ИНОСТРАННОМУ ЯЗЫКУ В ВУЗЕ (КОНСТАТИРУЮЩИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ)

Статья в формате PDF 159 KB...

27 04 2024 15:41:15

ОБУЧАЮЩЕ-КОНТРОЛИРУЮЩИЕ ВОЗМОЖНОСТИ POWER POINT ПРИ ОБУЧЕНИИ ХИМИИ

Статья в формате PDF 87 KB...

26 04 2024 9:54:50

К ВОПРОСУ О СИСТЕМНЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ КАДРОВОГО АГЕНТСТВА

Статья в формате PDF 85 KB...

25 04 2024 3:17:30

Стратегический ресурс России – новые знания (паспорт научной специальности – вербальная модель диссертационной работы)

В статье раскрываются новые знания, которые становятся стратегическим ресурсом, обеспечивают России статус великой державы и формирование упреждающей реакции на скрытые угрозы национальным интересам. Паспорта научных специальностей способствуют консолидации интеллектуальных ресурсов страны на самых актуальных направлениях исследований. Выявленные различия хаpaктеризуют определяющую роль паспорта научной специальности в резонансном взаимодействии с диссертационными работами, при наличии которого достигается соответствие предмета исследования паспорту научной специальности. Резонансное взаимодействие объекта и субъекта в научном творчестве при выполнении диссертационной работы составляет основной принцип интеллектуальной информационной технологии как инструмента научного творчества. ...

24 04 2024 0:56:41

ИНФОРМАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ

Статья в формате PDF 111 KB...

23 04 2024 10:41:26

ВОЛГИН ВАСИЛИЙ ИЛЬИЧ

Статья в формате PDF 220 KB...

22 04 2024 0:10:25

О ПАМЯТНИКЕ ПРИРОДЫ «КАРАКАНСКИЙ ХРЕБЕТ» В КУЗБАССЕ

Статья в формате PDF 116 KB...

21 04 2024 18:12:48

КОГНИТИВНЫЕ И ЛИНГВОКУЛЬТУРОЛОГИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КОНЦЕПТОВ ЭПИЧЕСКОГО ФОЛЬКЛОРА

Современный этап развития мирового и отечественного языкознания хаpaктеризуется антропоцентрической направленностью лингвистических исследований. Антропоцентризм является одним из фундаментальных свойств человеческого языка, так как взаимосвязь и взаимообусловленность языка и человека очевидна и не может вызывать никаких сомнений. «Идею антропоцентричности языка в настоящее время можно считать общепризнанной: для многих языковых построений представление о человеке выступает в качестве естественной точки отсчета» [1, 5]. Антропоцентрический подход в изучении языка или антропоцентрическая парадигма предполагает анализ человека в языке и языка в человеке. В.А. Маслова пишет, что «…антропоцентрическая парадигма выводит на первое место человека, а язык считается конституирующий хаpaктеристикой человека, его важнейшей составляющей. Человеческий интеллект, как и сам человек, немыслим вне языка и языковой способности как способности к порождению и восприятию речи. Если бы язык не вторгался во все мыслительные процессы, если бы он не был способен создавать новые ментальные прострaнcтва, то человек не вышел бы за рамки непосредственно наблюдаемого. Текст, создаваемый человеком, отражает движении человеческой мысли, строит возможные миры, запечатлевая в себе динамику мысли и способы ее представления с помощью средств языка» [1, 8]. ...