СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОТ МАТРИЦ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
Спектральный анализ линейных операторов имеет целый ряд важных применений в классической механике (особенно теории колебаний), электродинамике, квантовой механике, дифференциальных и интегральных уравнений и других областях математики и математической физики.
Пусть функция f(λ) пределена на спектре квадратной матрицы А,
- минимальный многочлeн А.
Тогда спектральное разложение матрицы f(A) имеет вид
(1)
В данной работе рассмотрим построение спектрального разложения матрицы
и его применения к вычислению функций от матриц, решение систем линейных однородных дифференциальных уравнений (ОДУ).
Найдем минимальный многочлeн матрицы А - последний инвариантный множитель матрицы (A - λE):
- хаpaктеристический многочлeн.
Следовательно, НОД миноров 3 порядка:
.
Найдем делители всех миноров 2-го порядка матрицы А:
Т.к. данные миноры 2-го порядка взаимно простые, то d2(λ) = 1.
Следовательно, минимальный многочлeн
По формуле (1) для любой функции f(λ), определенной на спектре матрицы А, имеем
Полагая в этом разложении поочередно
f(λ) = 1; f(λ) = (λ ‒ 2); f(l) = (λ ‒ 2)2,
приходим к системе матричных уравнений
из которой находим компоненты Z11, Z12, Z21.
Таким образом, спектральное разложение матрицы А примет вид:
(2)
Спектральное разложение очень удобно, если требуется вычислить несколько функций от одной и той же матрицы.
Например, вычислим значение функции от матрицы sin(πA). При f(λ) = sin(πλ) имеем f(2) = 0, f′(2) = π, f(3) = 0. Следовательно,
Рассмотрим другое применение спектрального анализа - это решение систем ОДУ с постоянными коэффициентами Y′ = AY, где A = (aij)n×n - матрица коэффициентов.
Решение системы , удовлетворяющее начальным условиям
,
находится по формуле
.
Если в качестве yi0 брать произвольные постоянные Ci (i = 1, 2, ..., n), то - общее решение системы.
Найдем общее решение системы ОДУ: Y′ = AY, где А - исходная матрица.
Вычислим eAt с помощью спектрального разложения (2). При f(λ) = eλt имеем f(2) = e2t, f′(2) = te2t, f(3) = e3t. Получаем
Тогда по формуле находим общее решение системы ОДУ
Статья в формате PDF
137 KB...
26 04 2024 11:47:11
Приводится вывод уравнений для расчета координационного числа в неупорядоченных конденсированных системах: в зернистых материалах, в композитах с твердой монодисперсной фазой, в жидких металлах и при критическом состоянии вещества. В выводах этих уравнений используется основной их топологический параметр – средняя плотность упаковки структурных элементов дискретности. Знание координационного числа элементов дискретности неупорядоченных систем необходимо для определения многих их свойств: физических, механических, реологических и др., совокупность которых вытекает из их топологических состояний: твердого, псевдотвердого, жидкого, псевдожидкого и критического.
...
25 04 2024 20:50:54
Статья в формате PDF
257 KB...
24 04 2024 23:27:46
Статья в формате PDF
283 KB...
23 04 2024 23:42:25
Статья в формате PDF
168 KB...
21 04 2024 22:55:54
Статья в формате PDF
112 KB...
20 04 2024 10:14:46
Статья в формате PDF
327 KB...
19 04 2024 20:54:32
Статья в формате PDF
109 KB...
18 04 2024 6:38:14
Статья в формате PDF
121 KB...
17 04 2024 17:55:25
Статья в формате PDF
268 KB...
16 04 2024 5:17:34
Статья в формате PDF
90 KB...
15 04 2024 21:20:48
Статья в формате PDF
120 KB...
14 04 2024 1:24:20
Статья в формате PDF
103 KB...
12 04 2024 7:27:30
Статья в формате PDF
139 KB...
11 04 2024 4:25:11
Статья в формате PDF
121 KB...
10 04 2024 21:23:21
Статья в формате PDF
126 KB...
09 04 2024 21:18:40
Статья в формате PDF
246 KB...
08 04 2024 0:26:21
Статья в формате PDF
281 KB...
07 04 2024 5:27:48
Статья в формате PDF
303 KB...
06 04 2024 13:13:42
Статья в формате PDF
113 KB...
05 04 2024 5:12:11
Статья в формате PDF
131 KB...
04 04 2024 22:45:28
Статья в формате PDF
98 KB...
03 04 2024 22:31:23
Статья в формате PDF
269 KB...
01 04 2024 20:45:49
Статья в формате PDF
121 KB...
31 03 2024 23:41:19
Статья в формате PDF
97 KB...
30 03 2024 8:19:54
Статья в формате PDF
99 KB...
29 03 2024 9:13:16
Статья в формате PDF
134 KB...
28 03 2024 7:54:25
Статья в формате PDF
299 KB...
27 03 2024 10:15:42
Статья в формате PDF
290 KB...
26 03 2024 14:25:33
Статья в формате PDF
106 KB...
25 03 2024 20:29:20
Статья в формате PDF
111 KB...
24 03 2024 3:58:23
Статья в формате PDF
144 KB...
23 03 2024 10:21:45
Статья в формате PDF
121 KB...
22 03 2024 12:43:54
Статья в формате PDF
299 KB...
21 03 2024 5:47:45
Статья в формате PDF
268 KB...
20 03 2024 16:13:56
Статья в формате PDF
109 KB...
19 03 2024 6:14:11
Установлено влияние уксуснокислого свинца (2,5∙10–1 мг/л) на анатомическое строение почвенных и водных корней рогоза узколистного (Typha angustifolia L.). Происходит адаптационное перераспределение активности разрушения паренхимных клеток и образования воздухоносных полостей с водных корней, непосредственно контактирующих с растворенной в воде солью, на почвенные. Объем воздухоносных полостей специфичен периоду вегетации растений и возрасту корней.
...
18 03 2024 11:43:55
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
