ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ЯВНЫЕ ОДНОШАГОВЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ЖЕСТКИХ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Авторы
Файлы

Ващенко Г.В. Статья в формате PDF 251 KB

Предложены параллельные явные одношаговые методы первого, второго порядков, обеспечивающие возможность с минимальными вычислительными затратами интегрировать жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В предлагаемых параллельных алгоритмах изменение величины шага построены на основе контроля точности и устойчивости численной схемы, а в неравенстве для контроля точности применяется оценка локальной ошибки метода.

В настоящее время одним из основных параметром, хаpaктеризующих эффективность использования вычислительной техники в науке и технологии, являются математические модели и численные методы, применяемые при создании программ для реализации исследований и расчетов по этим моделям. Моделирование процессов во многие важных приложениях приводит к необходимости численного решения задачи Коши для умеренно жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений [2, 3].

Рассматривается задача Коши для автономной системы обыкновенных дифференциаль ных уравнений первого порядка

y′ = f(y), y(t₀) = y₀, t₀ ≤ t ≤ t_k(1)

где y: [t₀, t_k] →R^N, f: [t₀, t_k]× R^N →R^N, [t₀, t_k] -отрезок интегрирования. В предположении существования и единственности решения задачи (1) параллельная схема метода первого порядка с контролем точности для численного решения (1) в вычислительной системе из p процессоров, N > p и s = N/p, если N кратно p, или s = [N/p] + g, в противном случае, записывается в виде [1]

(2)

где y_js⁽ⁿ⁾ ∈ Comp(j), || δ_n||= 0.5h || f_{n + 1} - f_n || ≤ ε, 1 ≤ j ≤ p, (j-1)⋅s + 1 ≤ j_s ≤ j⋅ s, ||⋅|| - некоторая норма в R^N , || δ_n||- норма вектора локальной погрешности, f_{n + 1} и f_n - значения правой части системы (1) соответственно в точках t _n+1 и t_n, ε требуемая точность. Параллельная схема второго порядка для численного решения (1) имеет вид

(3)

Неравенство для оценки устойчивости h | λ_max |≤ D, где | λ_max | -наибольшее собственное число якобиана, D - размер области устойчивости (для схемы (3) он равен 2). Выбор величины шага h_n для схемы (2) определяется по формуле h_n = qh_n/1.1, где q = (ε /|| δ_n ||)^1/2, а для схемы (3) по формуле h_n = max(h_n, qh_n)/1.1, где q = (D / h_n |λ_max | )^1/2 .

Укрупненная схема параллельных алгоритмов предложенных вычислительных схем (2), (3) состоит в следующем. Компоненты y_js⁽ⁿ⁾ распределяются по p процессорам согласно блочной схеме распределения по s компонентов в каждом. Каждая задача Uj выполняется на proc(j), U_j ∈ proc(j). Proc(1) определяет значение шага h_n и передает всем proc(j), используя коммуникационную операцию one-to- all. В каждом proc(j) вычисляются y_js^(n), т.е. решается задача U_j, вычисляется значение локальной нормы || δ_n ||_j и выполняется операция all-to-all. Для вычисления значений элементов f_js(y⁽ⁿ⁾ ) вектора правой части разpaбатывается отдель ная функция. Таким образом, общая схема параллельного алгоритма сводится к линейной форме и обеспечивается возможность анализа и оценки его эффективности алгоритма.

Алгоритмы реализованы в виде отдельных функций языка С и включены в комплекс программ, предназначенных для численного моделирования процессов, описываемых жесткими системами на многопроцессорных вычислительных системах кластерной архитектуры. Коммуникационные операции реализованы функциями библиотеки MPI.

Расчеты, выполняемые на 99-процессорном кластере ИВМ СО РАН [4] показали, что параллельные схемы (2), (3) применяться в случаях, когда расчеты требуется проводить с невысокой точностью - порядка 1 % и ниже.

Список литературы

Ващенко Г.В., Новиков Е.А. Параллельная реализация явных методов типа Рунге-Кутты // Вестник КрасГАУ. - 2010 - №2 - С. 14-18.
Новиков Е.А. Явные методы для жестких систем. - Новосибирск: Наука, 1997.
Хайрер Э., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи. - М.: Мир, 1999.
Исаев С.В., Малышев А.В., Шайдуров В.В. Развитие Красноярского центра параллельных вычислений // Вычислительные технологии. - 2006. - №11. - С. 28-33.

АЛЬФА-ФЕТОПРОТЕИН – НОВЫЕ ПОДХОДЫ К ИЗУЧЕНИЮ СТРУКТУРЫ И ФУНКЦИИ

Статья в формате PDF 133 KB...

28 04 2024 14:30:54

РОЛЬ ЕСТЕСТВЕННЫХ ДИСЦИПЛИН В СОЗДАНИИ СОВРЕМЕННЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Статья в формате PDF 121 KB...

27 04 2024 16:37:57

ЗДОРОВЬЕ И ОБРАЗОВАНИЕ СЕГОДНЯ

Образование и здоровье: сочетание этих понятий наполнено нравственным, социальным, политическим и экономическим смыслом. Здоровье для России должно стать зеркалом жизни, воспитания и образования, быть высшей ценностью государства ...

26 04 2024 16:57:42

НОВЫЕ ГЕРОПРОТЕКТОРЫ AGEXPERT MALE И AGEXPERT FEMALE

Статья в формате PDF 104 KB...

25 04 2024 6:21:37

ОЦЕНКА АДГЕЗИВНОЙ СПОСОБНОСТИ И ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ К АНТИФУНГАЛЬНЫМ ПРЕПАРАТАМ ГРИБОВ РОДА CANDIDA В КОНТЕКСТЕ ИСТОЧНИКА ИЗОЛЯЦИИ

Статья в формате PDF 254 KB...

24 04 2024 4:31:33

ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ ВУЗОВСКОЙ НАУКИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ, БИОЛОГИИ, МЕДИЦИНЕ

Статья в формате PDF 173 KB...

23 04 2024 8:30:34

АГРЕГАЦИЯ ТРОМБОЦИТОВ ПРИ ЛЕПТОСПИРОЗЕ

Статья в формате PDF 121 KB...

22 04 2024 14:31:23

МОДЕЛИРОВАНИЕ КВАЗИФРАКТАЛЬНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ МЕЖФАЗНЫХ ГРАНИЦ МЕТОДОМ ИТЕРАЦИИ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ГЕНЕРАТОРОВ НА 2D СЕТКАХ

Обсуждены методика и некоторые результаты моделирования вероятных конфигураций межфазных границ на поверхности композиционных материалов, полученные методом итерации прямоугольных генераторов на определенных сетках Кеплера-Шубникова. ...

21 04 2024 6:42:40

ОРГАНИЗАЦИЯ ПЕДАГОГИЧЕСКОЙ ПРАКТИКИ НА МАТЕМАТИЧЕСКОМ ФАКУЛЬТЕТЕ

Статья в формате PDF 129 KB...

20 04 2024 11:57:12

СТИМУЛЯЦИЯ ЖИЗНЕСПОСОБНОСТИ ЦЕЛОГО РАСТЕНИЯ В ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Статья в формате PDF 93 KB...

19 04 2024 16:39:34

МЕТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБРАЗЦОВ,УПРОЧНЕННЫХ СТАТИКО-ИМПУЛЬСНОЙ ОБРАБОТКОЙ

Статья в формате PDF 369 KB...

18 04 2024 5:14:31

БАД «ПРОЛИПИД» В ЛЕЧЕНИИ ОЖИРЕНИЯ И ПРОФИЛАКТИКЕ АТЕРОСКЛЕРОЗА

Статья в формате PDF 124 KB...

17 04 2024 11:58:37

СОДЕРЖАНИЕ ЦЕРУЛОПЛАЗМИНА В КРОВИ БОЛЬНЫХ САЛЬМОНЕЛЛЕЗОМ

Статья в формате PDF 125 KB...

16 04 2024 9:38:44

Решение Штакельберга-Слейтера статической иерархической игры в условиях неопределенности

Статья в формате PDF 109 KB...

15 04 2024 14:46:55

СПЕЦИФИКА ДЕМОГРАФИЧЕСКОЙ И СЕМЕЙНОЙ ПОЛИТИКИ В КАБАРДИНО-БАЛКАРСКОЙ РЕСПУБЛИКЕ

В статье авторами рассмотрены региональные особенности демографической и семейной политики. ...

14 04 2024 1:19:12

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕХАНИЗМОВ ТВЕРДОФАЗНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ВОССТАНОВИТЕЛЬНОЙ ЗОНЕ ПЕЧИ МЕТАЛЛИЗАЦИИ

Статья в формате PDF 249 KB...

13 04 2024 5:23:27

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ АНАЛИЗЕ ИЗМЕНЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ИММУНИТЕТА У БОЛЬНЫХ ОСТРЫМ ГНОЙНЫМ ХОЛАНГИТОМ

Статья в формате PDF 125 KB...

12 04 2024 17:35:37

БИОЛОГИЧЕСКАЯ РОЛЬ ЖЕЛЕЗА И ЕГО ОБНАРУЖЕНИЕ В ФАРМАЦЕВТИЧЕСКИХ ПРЕПАРАТАХ

Статья в формате PDF 299 KB...

11 04 2024 2:22:57

УЧЕНИЕ О НООСФЕРЕ И ТЕОРИЯ МИКСТОВОГО ФАКТОРА

Статья в формате PDF 310 KB...

10 04 2024 16:21:44

ТВОРЧЕСКИЙ ДИАЛОГ КАК ПРИНЦИП КОММУНИКАТИВНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ В ФИЛОСОФИИ

Статья в формате PDF 270 KB...

09 04 2024 7:18:59

ОЦЕНКА СОСТОЯНИЯ АНТИОКСИДАНТНОЙ СИСТЕМЫ ЭРИТРОЦИТОВ У БОЛЬНЫХ ВИЧИНФЕКЦИЕЙ

Статья в формате PDF 232 KB...

08 04 2024 20:10:55

ПРОГНОСТИЧЕСКАЯ И ИНФОРМАТИВНАЯ ЗНАЧИМОСТЬ КЛИНИКО-АНАМНЕСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ПРИ ДИЗЕНТЕРИИ

Статья в формате PDF 92 KB...

07 04 2024 10:22:37

МИКРОЭКОЛОГИЯ ЧЕЛОВЕКА (ЧАСТЬ I)

С экологических позиций излагается представление о человеке как метасистеме, состоящей из макроскопического (тело) и микроскопического (микробиота) компонентов. Последний определяется как биоценоз микроорганизмов — бактерий, простейших, микроскопических грибов и вирусов, встречающийся у здоровых людей. Приводятся некоторые количественные хаpaктеристики микробиоты человека: общее число микроорганизмов, суммарная биомасса, процентное содержание облигатной, факультативной и транзиторной составляющих, время, за которое происходит смена генерации микроорганизмов. Рассматриваются главные системоообразующие факторы, обеспечивающие целостность микробиоты: структурный, метаболический, генетический и информационный. Анализируются взаимоотношения микробиоты и макроорганизма в нормальных физиологических условиях и при патологии. Обсуждаются механизмы развития дисбиозов и патогенетически обоснованные подходы к их коррекции. ...