Краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения
1 ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова» Министерства образования и науки РФ Исследована краевая задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения. При определенных условиях неравенственного типа на известные функции доказана теорема единственности. Вопрос существования решения задачи сведен к вопросу разрешимости сингулярного интегрального уравнения, которое редуцируется к уравнению Фредгольма второго рода, безусловная разрешимость которого заключается из единственности решения задачи. Статья в формате PDF 1265 KB краевая задача со смещениемоператор дробного дифференцированияоператор дробного интегрированиязадача Кошиуравнение Фредгольмасингулярное интегральное уравнение 1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. – М.: Наука, 1981. – 488 с. 2. Кумыкова С.К., Нахушева Ф.Б. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференциальные уравнения. – 1978. – Т.14, № 1. – С. 50–65. 3. Кумыкова С.К. Об одной задаче с нелокальными краевыми условиями на хаpaктеристиках для уравнения смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1974. – Т.10, № 1. – С. 78–88. 4. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. – М.: Физматгиз, 1963. – 358 с. 5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. – М.: Наука, 1968. – 511 с. 6. Нахушев А.М. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений смешанного типа // Дифференциальные уравнения. – 1969. – Т.5, № 1. – С. 44–59. 7. Репин О.А., Кумыкова С.К. Задача с обобщенными операторами дробного интегро – дифференцирования произвольного порядка // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2012. – № 12. – С. 59–71. 8. Репин О.А., Кумыкова С.К. Об одной краевой задаче со смещением для уравнения смешанного типа в неограниченной области // Дифференциальные уравнения. – 2012. – Т.48, № 8. – С. 1140–1149. 9. Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. – Минск: Наука и техника, 1987. – 688 с.
Теория краевых задач для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений является одним из важнейших разделов теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к таким уравнениям объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и многочисленными пpaктическими приложениями в газовой динамике, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек, в магнитной гидродинамике, в теории электронного рассеивания, в математической биологии. Они имеют большое значение при математическом моделировании нефтяных пластов, фильтраций грунтовых вод, переноса тепла и массы в объекте, имеющего сложное строение, электрических колебаний в проводах и других областях.
Задачи со смещением существенно обобщают классические задачи для вырождающихся гиперболических и смешанного типов уравнений, имеют многомерные аналоги и содержат широкий класс корректных самосопряженных задач.
Цель исследования: доказать существование и единственность решения задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения.
Постановка задачи. Рассмотрим уравнение
|y|l uxx – uyy = 0, (1)
где l = m при y > 0 и l = n при y < 0, m, n –положительные постоянные, в конечной области Ω, ограниченной хаpaктеристиками AC, BC, AD, BD уравнения (1), выходящими из точек A(0, 0), B(1, 0).
Пусть Ω1 = Ω∩(y > 0), Ω2 = Ω∩(y < 0), J – интервал 0 < x < l прямой y = 0.
Задача. Найти решение уравнения (1)
из класса , удовлетворяющее краевым условиям
(2)
и условию сопряжения
(3)
где ε1 = m/(2m + 4), ε2 = n/(2n + 4); – точки пересечения хаpaктеристик уравнения (1), выходящих из точки (x, 0) ∈ J, с хаpaктеристиками AC, AD, BC, BD соответственно αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x) – заданные функции, причем
αi(x), βi(x), α(x), – операторы дробного в смысле Римана – Лиувилля интегро-дифференцирования от функции f(х) [9].
Задача (1)–(3) относится к классу краевых задач со смещением [6]. При α2(x) = β1(x) = 0 существование и единственность решения задачи (1)–(3) были доказаны С.К. Кумыковой и Ф.Б. Нахушевой [2].
Единственность решения задачи
Пусть, как и принято, τ(x) = u(x, 0)
Выписывая решение задачи Коши для уравнения (1) в областях Ω1 и Ω2 [1], а затем, удовлетворив его краевым условиям (2), получим соотношения между τ(x) и νi(x), i = 1, 2
(4)
(5)
принесенные на J из областей Ω1 и Ω2, где Γ(α) – гамма функция Эйлера [4].
Принимая во внимание равенства [3]
соотношения (5)–(4) перепишем в виде
(6)
(7)
Теорема. В области Ω не может существовать более одного решения задачи, если выполнено либо
(8)
либо
α(x) ≡ 1,
(9)
(10)
Доказательство. При выполнении (8) единственность решения задачи (1)–(3) установлена в [2]. Докажем, что решение задачи единственно при выполнении условий (9), (10). Для этого покажем, что интеграл
не может быть отрицательным.
Полагая γ2(x) = 0, перепишем (7) в виде
где
Рассмотрим интеграл
(11)
Воспользуемся формулой [4] для гамма функции
Полагая в ней k = |x – ξ|, μ = 2ε2, получим
Откуда, поменяв порядок интегрирования в (11), будем иметь
С учетом ai(1) = bi(0) = 0 , вычислениями, аналогичными [2], получим
(12)
Нетрудно видеть, что при выполнении условий теоремы и, следовательно, J* ≥ 0 .
При γ1(x) = 0 из (6) также получается неравенство
Так как при α(x) ≡ 1, β(x) ≡ 0, ν1(x) = ν2(x), то
Таким образом, левая часть (12) равна нулю. Поскольку слагаемые справа неотрицательны, то они также равны нулю. В частности,
Так как , то
для всех t ∈ (0,∞), в частности, при t = 2πk, k = 0, 1, 2, … При этих значениях t функции sin tξ и cos tξ образуют полную ортогональную систему функций в L2.
Следовательно, νi(ξ) = 0 почти всюду, а так как они непрерывны по условию, то νi(ξ) = 0 всюду. Отсюда из (6), (7) при γi(x) = 0, i = 1, 2, заключаем, что τ(x) = 0 и, следовательно, ui(x, y) = 0 как решения задачи Коши в областях Ω1, Ω2 с нулевыми данными на J.
Существование решения задачи
Исключая τ(x) из (6) и (7), с учетом условия сопряжения (3), получим уравнение
(13)
где
Пусть a2(x) ≠ 0. подействовав на обе части (13) оператором , будем иметь:
(14)
Существование решения задачи исследовано в случаях m = n и n > m. При n > m уравнение (14) сведено к сингулярному интегральному уравнению [5]
(15)
а при n = m совпадает с сингулярным интегральным уравнением
(16)
Из свойств функций αi(x), βi(x), γi(x), α(x), β(x), i = 1, 2 , заключаем, что правая часть уравнений (15), (16) принадлежат классу C1(J), ,причем при x → 0 и x → 1 может обращаться в бесконечность порядка не выше 1 – 2εi. Ядра уравнений (15), (16)
.
Условие гарантирует существование регуляризатора, приводящего уравнения (15), (16) к уравнению Фредгольма второго рода, где
при n > m, а при n = m
Из возможности приведения задачи к эквивалентному интегральному уравнению Фредгольма второго рода и единственности искомого решения следует существование решения поставленной задачи. По найденному ν2(x) можно найти ν1(x), а следовательно и τ(x). Решение задачи (1)–(3) может быть найдено как решение задачи Коши в областях Ω1 и Ω2.
Отметим, что задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов с операторами обобщенного дробного интегро-дифференцирования исследовались в работах [7, 8].
Статья в формате PDF
296 KB...
27 04 2024 7:17:28
Статья в формате PDF
111 KB...
26 04 2024 0:35:51
Статья в формате PDF
93 KB...
25 04 2024 13:54:54
Статья в формате PDF
112 KB...
24 04 2024 3:47:23
Статья в формате PDF
121 KB...
23 04 2024 20:51:38
В работе рассмотрены 2 класса водной растительности. Представлен продромус, изучено биоразнообразие сообществ в городских озерах. Для оценки загрязнения водоемов использовалась система сапробности.
...
22 04 2024 15:50:49
Статья в формате PDF
130 KB...
21 04 2024 22:45:44
Статья в формате PDF
117 KB...
20 04 2024 17:15:36
Статья в формате PDF
113 KB...
19 04 2024 8:54:38
Статья в формате PDF
104 KB...
18 04 2024 22:58:18
Статья в формате PDF 117 KB...
17 04 2024 10:31:51
В статье предлагается тpaктовка ресурсного потенциала сельского хозяйства региона. Представлена авторская методика построения интегрального индикатора, позволяющего судить об уровне развития ресурсного потенциала аграрной сферы региона. Дана оценка ресурсного потенциала аграрной сферы регионов Юга России.
...
16 04 2024 3:35:21
Статья в формате PDF
282 KB...
15 04 2024 2:58:34
Статья в формате PDF
202 KB...
13 04 2024 15:14:53
Статья в формате PDF
90 KB...
12 04 2024 8:12:49
Статья в формате PDF
130 KB...
10 04 2024 4:33:31
Статья в формате PDF
118 KB...
09 04 2024 8:49:44
В работе изучены социально-гигиенические условия труда и быта военнослужащих региона Средней Волги, оценена информативность и значимость каждого из них в развитии ишемической болезни сердца.
...
07 04 2024 13:48:45
Статья в формате PDF 99 KB...
06 04 2024 5:50:13
Статья в формате PDF
395 KB...
05 04 2024 23:14:36
Статья в формате PDF
112 KB...
04 04 2024 18:11:51
Статья в формате PDF
107 KB...
03 04 2024 15:35:12
Приведенные материалы исследования позволяют заключить следующее. Изменения в диссимиляции глюкозы происходят еще до утраты клетками способности образовывать колонии на питательных средах. Уменьшение количества и замедление выхода радиоактивного углекислого газа в НФ холерных вибрионов, вероятно, связано с перестройкой метаболизма, проявляющемся в сдвиге его в сторону гликолиза и разрывом цепей цикла Кребса, хаpaктерным для хемолитоавтотрофов. Пребывание в условиях микрокосмов при низкой температуре индуцирует функционирования цикла Кальвина, что вероятно, обеспечивает клетку необходимыми пластическими материалами и способствует выживанию при отсутствии органических питательных веществ.
...
02 04 2024 13:28:11
Статья в формате PDF
66 KB...
01 04 2024 6:42:47
Статья в формате PDF
103 KB...
31 03 2024 10:43:33
В статье представлены различные классификации систем антиоксидантной защиты клеток, в частности, проанализирована возможность 5 уровней защиты клеток от свободнорадикального окисления в интерпретации разных авторов. Дана классификация антиоксидантов с точки зрения их химической природы, молекулярной массы, гидрофильности и гидрофобности, особенностей молекулярно - клеточных механизмов инактивации свободных радикалов.
...
30 03 2024 9:24:46
Статья в формате PDF
116 KB...
28 03 2024 3:14:56
Статья в формате PDF
129 KB...
27 03 2024 8:43:24
Статья в формате PDF 114 KB...
26 03 2024 7:38:33
Статья в формате PDF
111 KB...
24 03 2024 5:58:41
Статья в формате PDF
127 KB...
23 03 2024 7:20:51
Статья в формате PDF
240 KB...
22 03 2024 19:16:17
Статья в формате PDF
144 KB...
21 03 2024 19:42:52
Еще:
Поддержать себя -1 :: Поддержать себя -2 :: Поддержать себя -3 :: Поддержать себя -4 :: Поддержать себя -5 :: Поддержать себя -6 :: Поддержать себя -7 :: Поддержать себя -8 :: Поддержать себя -9 :: Поддержать себя -10 :: Поддержать себя -11 :: Поддержать себя -12 :: Поддержать себя -13 :: Поддержать себя -14 :: Поддержать себя -15 :: Поддержать себя -16 :: Поддержать себя -17 :: Поддержать себя -18 :: Поддержать себя -19 :: Поддержать себя -20 :: Поддержать себя -21 :: Поддержать себя -22 :: Поддержать себя -23 :: Поддержать себя -24 :: Поддержать себя -25 :: Поддержать себя -26 :: Поддержать себя -27 :: Поддержать себя -28 :: Поддержать себя -29 :: Поддержать себя -30 :: Поддержать себя -31 :: Поддержать себя -32 :: Поддержать себя -33 :: Поддержать себя -34 :: Поддержать себя -35 :: Поддержать себя -36 :: Поддержать себя -37 :: Поддержать себя -38 ::
